حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - 2 x \ln (x^{2} + 1) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (x^{2} + 1)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{d y}{d x} + x (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) = 0$

خطوة 1.1.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d y}{d x} - x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 0$

خطوة 1.1.2

أضف $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ بالصيغة $x (2 \ln (x^{2} + 1))$ .

$y + C_{1} = \int x (2 \ln (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int x (\ln (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 2.3.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x^{2} + 1)$ و $d v = x$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.4.2

اجمع $\ln (x^{2} + 1)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.4.4

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2} (2 x)}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.5.1

انقُل $x$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1 + 2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.6

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 \cdot x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 2.3.4.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.5

اقسِم $x^{3}$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.3.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.3.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

خطوة 2.3.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

خطوة 2.3.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

خطوة 2.3.5.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

خطوة 2.3.5.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x))$

خطوة 2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

خطوة 2.3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

خطوة 2.3.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

خطوة 2.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

خطوة 2.3.11

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3.11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.11.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.11.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u))$

خطوة 2.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u))$

خطوة 2.3.12.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{2 u} d u))$

خطوة 2.3.13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)))$

خطوة 2.3.14

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{3})))$

خطوة 2.3.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.1

بسّط.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.17.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = 2 \frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.17.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.17.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.17.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.17.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

خطوة 2.3.18

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$