حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = y^{2}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $y^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

خطوة 4

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $2 v$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

خطوة 4.1.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

خطوة 4.2

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

خطوة 4.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

خطوة 5

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 4 d x}$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 4 x + C}$

خطوة 5.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 4 x}$

خطوة 6

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كل حد في $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

خطوة 6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

خطوة 6.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

خطوة 7

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

خطوة 8

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

خطوة 9

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

خطوة 10

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

خطوة 10.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

خطوة 10.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

خطوة 10.3.3

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 10.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 10.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 10.5.2

اضرب $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ في $1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 10.6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

خطوة 10.7

لنفترض أن $u = - 4 x$ . إذن $d u = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

افترض أن $u = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 10.7.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 10.7.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 10.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

خطوة 10.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

خطوة 10.8.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

خطوة 10.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

خطوة 10.10

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

خطوة 10.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.11.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

خطوة 10.11.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

خطوة 10.12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

خطوة 10.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.13.1

أعِد كتابة $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ بالصيغة $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 10.13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.13.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 10.13.2.2

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 10.13.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

خطوة 10.14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 10.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 10.15.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.15.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ إلى بسط الكسر.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 10.15.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 10.15.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 10.15.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 10.15.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.15.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

خطوة 10.15.3.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

خطوة 10.15.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

خطوة 10.15.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

خطوة 10.15.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.15.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

خطوة 10.15.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

خطوة 10.15.5

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

خطوة 10.16

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

خطوة 11

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

خطوة 11.1.2

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

خطوة 11.1.3

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

خطوة 11.2

اقسِم كل حد في $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ على $e^{- 4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اقسِم كل حد في $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ على $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.2

اضرب $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ في $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.5

اضرب $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ في $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 11.2.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $y^{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

لكتابة $- \frac{x}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.5

لكتابة $\frac{- 4 x - 1}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.6

لكتابة $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

خطوة 13.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8 e^{- 4 x}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.7.1

اضرب $\frac{- 4 x - 1}{8}$ في $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

خطوة 13.2.7.2

اضرب $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ في $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

خطوة 13.2.7.3

أعِد ترتيب عوامل $e^{- 4 x} \cdot 8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.9.2

أعِد كتابة $- 1 e^{- 4 x}$ بالصيغة $- e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.9.3

انقُل $8$ إلى يسار $C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.10

أعِد كتابة $\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.10.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

خطوة 13.2.10.2

أخرِج عامل القوة الكاملة ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ من $8 e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

خطوة 13.2.10.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

خطوة 13.2.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

خطوة 13.2.12

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

خطوة 13.2.13

اجمع.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

خطوة 13.2.14

اضرب $\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ في $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

خطوة 13.2.15

اضرب $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 13.2.16

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.16.1

اضرب $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 13.2.16.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 13.2.16.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

خطوة 13.2.16.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

خطوة 13.2.16.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 13.2.16.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 13.2.16.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.16.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 13.2.16.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 13.2.16.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 13.2.16.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.16.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 13.2.16.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

خطوة 13.2.16.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

خطوة 13.2.17

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

خطوة 13.2.18

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.18.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

خطوة 13.2.18.2

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

خطوة 13.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

خطوة 13.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

خطوة 13.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

خطوة 14

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$