حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y d y$ من كلا المتعادلين.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

خطوة 2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x e^{x^{2} + y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 2.4.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 2.4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

خطوة 2.4.5

اضرب $e^{x^{2} + y}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $x e^{x^{2} + y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x e^{x^{2} + y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

خطوة 5.3.2

اطرح $x e^{x^{2} + y}$ من $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x e^{x^{2} + y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

خطوة 5.3.4.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - 1 d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

خطوة 6.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ في عامل التكامل $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $x e^{x^{2} + y}$ في $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

خطوة 7.2

اضرب $e^{x^{2} + y}$ في $e^{- y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

خطوة 7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

خطوة 7.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- y + x^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أضف $- y$ و $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

خطوة 7.2.3.2

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $- y$ في $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 9.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 9.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 9.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 9.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 9.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 9.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 9.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 9.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

خطوة 12.3

بما أن $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

خطوة 12.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y e^{- y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

خطوة 13.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

خطوة 13.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

خطوة 13.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

خطوة 13.6.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

خطوة 13.7

لنفترض أن $u = - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.7.1

افترض أن $u = - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.7.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 13.7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 13.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 13.7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 13.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 13.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 13.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

خطوة 13.10

أعِد كتابة $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ بالصيغة $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

خطوة 13.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

خطوة 13.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

خطوة 13.12.2

اضرب $- (- y e^{- y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.12.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

خطوة 13.12.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

خطوة 13.12.3

اضرب $- - e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.12.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

خطوة 13.12.3.2

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$