حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 5 y$ . إذن $d u_{1} = 5 d y$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 5 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

خطوة 1.2.1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 1.2.1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.2.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.2.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.2.4

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.2.5

بسّط.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

خطوة 1.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 5 x$ . إذن $d u_{2} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.3.1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 1.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

خطوة 1.3.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

خطوة 1.3.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 1.3.4

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

خطوة 1.3.5

بسّط.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 1.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

خطوة 1.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كلا المتعادلين في $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 2.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بسّط $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط $5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

خطوة 2.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

خطوة 2.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

خطوة 2.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

خطوة 2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وسّع $\ln (e^{5 y})$ بنقل $5 y$ خارج اللوغاريتم.

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 2.4.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 2.5

اقسِم كل حد في $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم كل حد في $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ على $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

خطوة 2.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

خطوة 3

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$