حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 7}$ ; and , $y (7) = 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (t + 2 e^{t - 7}) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 7} d t$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 7} d t$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 7} d t$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u = t - 7$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u = t - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $t - 7$ .

$\frac{d}{d t} [t - 7]$

خطوة 2.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

خطوة 2.3.4.1.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t - 7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $7$ عن $t$ وبـ $4$ عن $y$ في $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $7$ من $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 49 + 2 e^{0} + K = 4$

خطوة 4.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $49$ .

$\frac{49}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

خطوة 4.2.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 + K = 4$

خطوة 4.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

خطوة 4.2.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{49 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{49 + 4}{2} + K = 4$

خطوة 4.2.6.2

أضف $49$ و $4$ .

$\frac{53}{2} + K = 4$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{53}{2}$ من كلا المتعادلين.

$K = 4 - \frac{53}{2}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{53}{2}$

خطوة 4.3.3

اجمع $4$ و $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{53}{2}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 53}{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $4$ في $2$ .

$K = \frac{8 - 53}{2}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $53$ من $8$ .

$K = \frac{- 45}{2}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = - \frac{45}{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{45}{2}$ عن $K$ في $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{45}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

خطوة 5.3

لكتابة $2 e^{t - 7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{45}{2}$

خطوة 5.4

اجمع $2 e^{t - 7}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

خطوة 5.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 7}}{2} - \frac{45}{2}$