حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y = (x + y) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(x + y) d x$ من كلا المتعادلين.

$x d y - (x + y) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- (x + y) d x + x d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x + y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (x + y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x + y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.4

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 1 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

خطوة 5.3.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 6.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 6.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- (x + y) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- (x + y)$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- (x + y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- x - y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $- x - y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- x - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{- (x) - (y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.7

أعِد كتابة $- (x + y)$ بالصيغة $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.9

اضرب $x$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.10

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 7.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 7.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{1}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y}{x} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.5.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 12.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

أضف $\frac{x + y}{x^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} + \frac{x + y}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + x + y}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- y + x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.3.1

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x + 0}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{1}}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.4.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} = 0$

خطوة 13.1.1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} = 0$

خطوة 13.1.1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

خطوة 13.1.2

اطرح $\frac{1}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- \frac{1}{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 14.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

خطوة 14.5

بسّط.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} - \ln (| x |) + C$