حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{x^{2} + 1}{x}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

خطوة 3.3

بسّط $3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

خطوة 3.5

بسّط $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لكتابة $\ln ({| x |}^{3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اجمع $\ln ({| x |}^{3})$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب $\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

أعِد ترتيب $\ln ({| x |}^{3})$ و $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 2 \cdot \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.3.1.2

بسّط $2 \cdot \ln ({| x |}^{3})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.3.2

اضرب الأُسس في ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.3.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{6}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

خطوة 3.5.4

لكتابة $3 C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 3.5.5

اجمع $3 C$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.5.7

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

خطوة 3.5.8

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 3.5.9

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.5.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.10.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.5.10.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.5.10.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.5.10.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 3.5.10.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.10.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.5.10.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.5.10.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.5.10.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.10.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.5.10.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.5.10.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 3.5.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.11.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 3.5.11.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 3.5.12

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.12.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

خطوة 3.5.12.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + C)}}{2}$