حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 9$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . إذن $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

خطوة 2.3.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{9}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

خطوة 2.3.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

اجمع $9$ و $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4.2

اقسِم $u_{2}$ على $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e^{- 0} + K = 2$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e^{0} + K = 2$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - 1$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $2$ .

$K = 1$

خطوة 5

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $y = e^{- x^{9}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$