حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $8 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

خطوة 1.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 8 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 8 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 8 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 8 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $e^{- 8 x}$ و $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $e^{- 8 x}$ و $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

خطوة 7.5.2

اضرب $\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ في $1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

خطوة 7.6

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

خطوة 7.7

لنفترض أن $u = - 8 x$ . إذن $d u = - 8 d x$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

افترض أن $u = - 8 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1.1

أوجِد مشتقة $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

خطوة 7.7.1.2

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

خطوة 7.7.1.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 8$

خطوة 7.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

خطوة 7.8.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

خطوة 7.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

خطوة 7.10

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

خطوة 7.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.11.2

اضرب $8$ في $8$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

خطوة 7.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.13.1

أعِد كتابة $- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ بالصيغة $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 7.13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.13.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 7.13.2.2

اجمع $e^{- 8 x}$ و $\frac{x}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

خطوة 7.13.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

خطوة 7.14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 8 x$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

خطوة 7.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

خطوة 7.15.2

اضرب $- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

خطوة 7.15.2.2

اضرب $\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ في $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

خطوة 7.15.3

اضرب $- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

خطوة 7.15.3.2

اضرب $\frac{e^{- 8 x}}{64}$ في $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

خطوة 7.15.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

خطوة 7.16

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ على $e^{- 8 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ على $e^{- 8 x}$ .

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 8 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 8 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $\frac{1}{8} x$ على $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 8 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $\frac{1}{64}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.2

أضف $\frac{1}{8} x$ و $\frac{1}{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أعِد ترتيب $\frac{1}{8}$ و $x$ .

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.2.2

لكتابة $x \frac{1}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{64}{64}$ .

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.2.3

اجمع $x \frac{1}{8}$ و $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.2.1

أخرِج العامل $8$ من $64$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.3.3

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.4

لكتابة $\frac{8 x + 1}{64}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.5

لكتابة $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

خطوة 8.3.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $64 e^{- 8 x}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.1

اضرب $\frac{8 x + 1}{64}$ في $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

خطوة 8.3.6.2

اضرب $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ في $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

خطوة 8.3.6.3

أعِد ترتيب عوامل $e^{- 8 x} \cdot 64$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.8.2

اضرب $e^{- 8 x}$ في $1$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

خطوة 8.3.8.3

انقُل $64$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$