حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 2 - 0.02 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 - 0.02 y}$ .

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 - 0.02 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 - 0.02 y} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 2 - 0.02 y$ . إذن $d u = - 0.02 d y$ ، لذا $\frac{1}{- 0.02} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 2 - 0.02 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 0.02}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 0.02$ على $1$ .

$- 0.02$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 50}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{50}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{50}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $50$ خارج التكامل.

$- (50 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

خطوة 2.2.5

اضرب $50$ في $- 1$ .

$- 50 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 50 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$- 50 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - 0.02 y$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ على $- 50$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ على $- 50$ .

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| 2 - 0.02 y |)$ على $1$ .

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} + \frac{C}{- 50}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 - 0.02 y |)} = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} = | 2 - 0.02 y |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$ .

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 - 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ على $- 0.02$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ على $- 0.02$ .

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 0.02$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.2

بسّط $\frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.3

اضرب في $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.4

أخرِج العامل $0.02$ من $0.02$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02 (1)} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.5

افصِل الكسور.

$y = \frac{1}{0.02} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.6

اقسِم $1$ على $0.02$ .

$y = 50 \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.7

اقسِم $\pm e^{\frac{- x - C}{50}}$ على $1$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + \frac{- 2}{- 0.02}$

خطوة 3.4.4.3.1.8

اقسِم $- 2$ على $- 0.02$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + 100$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x + C}{50}}) + 100$