حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = e^{4 y}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $e^{4 y}$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $e^{4 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب عوامل $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

خطوة 3

عوّض بقيمة $e^{4 y}$ التي تساوي $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

خطوة 4

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

خطوة 5

اطرح $3 v$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

خطوة 6

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 3 d x}$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 3 x + C}$

خطوة 6.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 3 x}$

خطوة 7

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كل حد في $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

خطوة 7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

خطوة 7.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

خطوة 7.4

اضرب $e^{- 3 x}$ في $e^{3 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

خطوة 7.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

خطوة 7.4.3

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

خطوة 7.5

بسّط $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

خطوة 7.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

خطوة 8

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

خطوة 9

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

خطوة 10

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

خطوة 11

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 11.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 11.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

خطوة 12

اقسِم كل حد في $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ على $e^{- 3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اقسِم كل حد في $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ على $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 12.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 14

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

خطوة 14.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

وسّع $\ln (e^{4 y})$ بنقل $4 y$ خارج اللوغاريتم.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

خطوة 14.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

خطوة 14.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

خطوة 14.3

اقسِم كل حد في $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اقسِم كل حد في $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

خطوة 14.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

خطوة 14.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$