حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . إذن $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.2.1.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.2.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

خطوة 2.3.2.1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.4.1

اضرب $e^{2 x}$ في $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

خطوة 2.3.2.1.4.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $u_{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.7.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

خطوة 2.3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{3}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.9.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.9.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.9.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.9.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.9.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$