حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$69 x d y + 420 y d x = 0$

خطوة 1

اطرح $420 y d x$ من كلا المتعادلين.

$69 x d y = - 420 y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

خطوة 3.2

اجمع $69$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

خطوة 3.5

اجمع $- 420$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $69$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $69$ خارج التكامل.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $420$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $420$ خارج التكامل.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $420$ في $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $69 \ln (| y |)$ بنقل $69$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

بسّط $420 \ln (| x |)$ بنقل $420$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

خطوة 5.2.1.1.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{420}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

خطوة 5.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ على $x^{420}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ على $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{420}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم ${| y |}^{69}$ على $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

خطوة 5.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

خطوة 5.5.4

بسّط $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد كتابة $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{69}$ من $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

خطوة 5.5.4.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة ${(x^{6})}^{69}$ من $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

خطوة 5.5.4.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

خطوة 5.5.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

خطوة 5.5.4.3

أعِد كتابة $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

خطوة 5.5.4.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.4.1

اجمع.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

خطوة 5.5.4.4.2

اضرب $\sqrt[69]{e^{C}}$ في $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

خطوة 5.5.4.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.5.1

أعِد كتابة $x^{6}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

خطوة 5.5.4.5.2

أعِد كتابة $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ بالصيغة $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

خطوة 5.5.4.5.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

خطوة 5.5.4.6

اضرب $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ في $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

خطوة 5.5.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ في $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

خطوة 5.5.4.7.2

انقُل $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

خطوة 5.5.4.7.3

ارفع $\sqrt[23]{x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

خطوة 5.5.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

خطوة 5.5.4.7.5

أضف $1$ و $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

خطوة 5.5.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ بالصيغة $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[23]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

خطوة 5.5.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

خطوة 5.5.4.7.6.3

اجمع $\frac{2}{23}$ و $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

خطوة 5.5.4.7.6.4

اضرب $2$ في $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

خطوة 5.5.4.7.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $46$ و $23$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.6.5.1

أخرِج العامل $23$ من $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

خطوة 5.5.4.7.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.7.6.5.2.1

أخرِج العامل $23$ من $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

خطوة 5.5.4.7.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

خطوة 5.5.4.7.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

خطوة 5.5.4.7.6.5.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

خطوة 5.5.4.8

اضرب $x^{6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.8.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

خطوة 5.5.4.8.2

أضف $6$ و $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.9.1

أعِد كتابة ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ بالصيغة $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{22}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.2.2

اضرب $2$ في $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.3

أخرِج عامل $x^{23}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.9.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام الدليل المشترك الأصغر لـ $69$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.9.5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[23]{x^{21}}$ في صورة $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.5.1.2

أعِد كتابة $x^{\frac{21}{23}}$ بالصيغة $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.5.1.3

أعِد كتابة $x^{\frac{63}{69}}$ بالصيغة $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.9.5.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.10

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.10.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.10.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

خطوة 5.5.4.10.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.10.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

خطوة 5.5.4.10.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

خطوة 5.5.4.10.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

خطوة 5.5.4.10.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

خطوة 5.5.5

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$