حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = \csc (7 θ)$ . إذن $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = \csc (7 θ)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \csc (θ)$ و $g (θ) = 7 θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

خطوة 2.3.1.1.2.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

خطوة 2.3.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $7 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

خطوة 2.3.1.1.3.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.4.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

خطوة 2.3.1.1.3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.6.2.2

اضرب $2$ في $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $\frac{π}{4}$ عن $θ$ وبـ $3$ عن $r$ في $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اجمع $7$ و $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن قاطع التمام سالب في الربع الرابع.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{4})$ هي $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.5.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.5.3

أضف $2$ و $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.6

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

خطوة 4.2.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

خطوة 4.2.1.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

خطوة 4.2.1.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

خطوة 4.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{14}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

خطوة 4.2.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

خطوة 4.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

خطوة 4.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

خطوة 4.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $\frac{1}{7}$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

خطوة 4.3.3

اجمع $3$ و $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $3$ في $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

خطوة 4.3.5.2

أضف $21$ و $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{22}{7}$ عن $K$ في $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{22}{7}$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

خطوة 5.2

اجمع $\csc^{2} (7 θ)$ و $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$