حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - 8 x y - 16 x = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أضف $8 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - 16 x = 8 x y$

خطوة 1.1.2

أضف $16 x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y + 16 x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x y + 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x (y) + 16 x$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $8 x$ من $16 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x (y) + 8 x (2)$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $8 x$ من $8 x (y) + 8 x (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x (y + 2)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (8 x (y + 2))$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y + 2} (x (y + 2))$

خطوة 1.4.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y + 2} (x (y + 2))$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $y + 2$ من $x (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y + 2} ((y + 2) x)$

خطوة 1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y + 2} ((y + 2) x)$

خطوة 1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 8 x$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y + 2} d y = 8 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int 8 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y + 2$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 8 x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 8 x d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int 8 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 8 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = 4 x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{4 x^{2} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y + 2 |) = 4 x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{2} + C} = | y + 2 |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y + 2 | = e^{4 x^{2} + C}$ .

$| y + 2 | = e^{4 x^{2} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{4 x^{2} + C}$

خطوة 3.3.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{4 x^{2} + C} - 2$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{4 x^{2} + C}$ بالصيغة $e^{4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{2}} e^{C} - 2$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{4 x^{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{2}} - 2$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{4 x^{2}} - 2$