حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{2}$

خطوة 4

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{2}$

خطوة 5

خُذ مشتق $v^{2}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ مشتق $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = 2 v v'$

خطوة 6

عوّض بـ $2 v v'$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{2}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

بسّط $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 7.1.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 7.1.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

خطوة 7.1.1.1.2

بسّط.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

خطوة 7.1.1.2

اطرح $x v^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

خطوة 7.1.1.3

اقسِم كل حد في $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ على $2 v$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ على $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2.2.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.2.2

اقسِم $3 x$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $v^{2}$ و $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $v$ من $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $v$ من $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

خطوة 7.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x - \frac{x v}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

خطوة 7.1.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

خطوة 7.1.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

خطوة 7.1.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

خطوة 7.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

خطوة 7.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

خطوة 7.1.2.5

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

خطوة 7.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

خطوة 7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

اجمع $x$ و $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

خطوة 7.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

خطوة 7.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

خطوة 7.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6 - v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.3.1

أخرِج العامل $6 - v$ من $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

خطوة 7.1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

خطوة 7.1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

خطوة 7.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

خطوة 7.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

خطوة 7.2.2.2

لنفترض أن $u_{2} = 6 - v$ . إذن $d u_{2} = - d v$ ، لذا $- d u_{2} = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

افترض أن $u_{2} = 6 - v$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 7.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

خطوة 7.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

خطوة 7.2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

خطوة 7.2.2.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 7.2.2.7

بسّط.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 7.2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 7.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 7.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اقسِم كل حد في $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| 6 - v |)$ على $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3.1.3

اجمع.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3.1.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

خطوة 7.3.1.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

خطوة 7.3.2

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

خطوة 7.3.3

أعِد كتابة $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

خطوة 7.3.4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

خطوة 7.3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

خطوة 7.3.4.3

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

خطوة 7.3.4.4

اقسِم كل حد في $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.4.1

اقسِم كل حد في $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ على $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 7.3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 7.3.4.4.2.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 7.3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 7.3.4.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ بالصيغة $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 7.3.4.4.3.1.3

اقسِم $- 6$ على $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

خطوة 7.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

خطوة 7.4.2

أعِد كتابة $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

خطوة 7.4.3

أعِد ترتيب $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ و $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

خطوة 7.4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

خطوة 8

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$