حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\ln (5)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\ln (5)$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $5^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \arctan (x) + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = 5^{x} + \arctan (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 5^{x} + \arctan (x) + K$