حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} y + 8 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x^{3} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $8 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x^{3} + 8$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{3} + 8 = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x^{3} + 8 = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x^{3} + 8$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x^{3} y + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x^{3} y + 8 y$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $- (- x^{3} - 8)$ من $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4

أعِد كتابة $- x^{3} - 8$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

أعِد كتابة $- x^{3}$ بالصيغة ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = - x$ و $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.4.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.4.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.2.4.4.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

خطوة 4.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{3} y + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

خطوة 4.3.3.1.2

أخرِج العامل $y$ من $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

خطوة 4.3.3.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

خطوة 4.3.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

خطوة 4.3.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

خطوة 4.3.3.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- x - 2$ و $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

خطوة 4.3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

خطوة 4.3.5.4

أعِد كتابة $- (x + 2)$ بالصيغة $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

خطوة 4.3.5.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

خطوة 4.3.5.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x^{3} y + 8 y$ .

$- \frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x^{3} y + 8 y$ في $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x^{3} y + 8 y$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{3} y + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3.1.2

أخرِج العامل $y$ من $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3.3

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.3.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.4.2

اقسِم $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ على $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.5

وسّع $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

انقُل $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.4

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.5

اضرب $- 2$ في $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.6.6

اضرب $2$ في $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.7

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أضف $- 2 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.7.2

أضف $x^{3} + 4 x$ و $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.7.3

اطرح $4 x$ من $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.7.4

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

خطوة 6.8

اضرب $y + 1$ في $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.9

اضرب $y + 1$ في $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x^{3} + 8$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

خطوة 8.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

خطوة 8.4

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11.3

بما أن $\frac{1}{4} x^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11.4

بما أن $8 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 11.6.2

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{y + 1}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

خطوة 12.3

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 12.7

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

خطوة 12.8

بسّط.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

خطوة 14

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$