حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اطرح $5 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

خطوة 2.1.2

اقسِم كل حد في $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ على $10 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اقسِم كل حد في $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ على $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

خطوة 2.1.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

خطوة 2.1.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

خطوة 2.1.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

خطوة 2.1.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

خطوة 2.1.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

خطوة 2.1.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 3.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع $\ln (| x |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (| x |)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

خطوة 4.3.1.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 4.3.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 4.3.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

خطوة 4.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

خطوة 4.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

خطوة 4.6.2

اقسِم كل حد في ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ على ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اقسِم كل حد في ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ على ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.6.2.2.2

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.6.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$