حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x + e^{4 x} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $d x$ من كلا المتعادلين.

$e^{4 x} d y = - d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{e^{4 x}}$ و $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{4 x}} d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 d y = - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

خطوة 4.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{4 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 4 x} d x$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $e^{- 4 x}$ في $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 4 x} d x$

خطوة 4.3.3

لنفترض أن $u = - 4 x$ . إذن $d u = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

افترض أن $u = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 4.3.3.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 4.3.3.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

خطوة 4.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

خطوة 4.3.4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 4.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 4.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 4.3.6.2

اضرب $\int \frac{e^{u}}{4} d u$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 4.3.7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 4.3.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + K$