حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $y \ln (x)$ من كلا المتعادلين.

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ على $- x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ على $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3.1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$