حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x (y - 2) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $3 x (y - 2) d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + 1) d y = - 3 x (y - 2) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y - 2} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

خطوة 3.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y - 2$ من $(x^{2} + 1) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} (x (y - 2)) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y - 2$ من $x (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 1} x d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 3}{x^{2} + 1}$ و $x$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y - 2$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 4.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

اجمع $\ln (| x^{2} + 1 |)$ و $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

خطوة 5.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y - 2 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.3

لكتابة $\ln (| y - 2 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $\ln (| y - 2 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y - 2 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y - 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y - 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y - 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 5.6.1.1.3

بسّط $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 5.6.1.1.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 5.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

خطوة 5.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على ${(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.5

اضرب الأُسس في ${({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln ({(y - 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.6

بسّط.

$\ln ((y - 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.7

اضرب الأُسس في ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

خطوة 5.6.1.7.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

خطوة 5.6.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

خطوة 5.9.2

أضف $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5.9.3

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ على ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ على ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.9.3.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$