حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $2 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2 \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $2 \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sec^{2} (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.6

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.7

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.9

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.10

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.11

اجمع.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.12

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.12.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.12.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.2.13

اجمع $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

خطوة 3.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

خطوة 3.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.2

افصِل الكسور.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.3

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.4

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.5

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.6

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.7

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.8

اجمع $\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ و $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.9

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.10

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.11

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.12

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.13.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.13.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.14

اضرب $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.14.1

اجمع $\tan (x)$ و $\frac{2 y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.14.2

اجمع $\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ و $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.15

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.16

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.17

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.18.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.18.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.19

اقسِم $(2 y) \sec (x)$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.20

اضرب $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.20.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.20.2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.20.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.7.20.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

خطوة 3.9

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 3.10

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

خطوة 3.11

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

خطوة 3.12

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

خطوة 7

بما أن مشتق $\sec (x)$ هو $\sec (x) \tan (x)$ ، إذن تكامل $\sec (x) \tan (x)$ هو $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ على $\sec^{2} (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ على $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $\sec (x)$ و $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$