حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (y)$ من $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ إلى $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

خطوة 2.2.2

بما أن مشتق $\tan (y)$ هو $\sec^{2} (y)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (y)$ هو $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

خطوة 3.1.2

أعِد ترتيب $\frac{e^{2 x}}{2}$ و $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

خطوة 3.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل المماس.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$