حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{e^{x}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{e^{x}}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{e^{x}}$

خطوة 1.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{x}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{e^{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 2.3.2.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int e^{- x} d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.3.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.3.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int - e^{u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (- \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{- x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 e^{- x} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 e^{- x} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- 4 e^{- x} + C}$ بالصيغة $e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- 4 e^{- x}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 e^{- x}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- 4 e^{- x}}$