حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x y^{2} d x + (3 x^{2} y + 4 y^{3}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

خطوة 1.2

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (2 y)$

خطوة 1.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y + 4 y^{3}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} y + 4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

خطوة 2.4

بما أن $4 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $6 y x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب عوامل $6 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 x y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x y = 6 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$6 x y = 6 x y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x y^{2} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 x y^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3 y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 y^{2} \int x d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $3 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{3}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.3.2.2

اجمع $y^{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.3.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.3.2.4

اضرب $3$ في $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5

اجمع $\frac{3 y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{3 y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{3 x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.5

اجمع $2$ و $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2})}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.6

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.7

اجمع $\frac{6 x^{2}}{2}$ و $y$ .

$\frac{6 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 (3 x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.3.8.2.4

اقسِم $3 x^{2} y$ على $1$ .

$3 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y = 3 x^{2} y + 4 y^{3}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $3 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y + 4 y^{3} - 3 x^{2} y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} y + 4 y^{3} - 3 x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $3 x^{2} y$ من $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $4 y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $4 y^{3}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

خطوة 10.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

خطوة 10.5.2.3

اضرب $y^{4}$ في $1$ .

$g (y) = y^{4} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + y^{4} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} + y^{4} + C$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{3 y^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} + y^{4} + C$