حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.5

احذِف الأقواس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

خطوة 1.6

انقُل $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

خطوة 5.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الثابت.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 5.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 5.6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 5.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 5.8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 5.9

بسّط.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 5.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

خطوة 5.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

خطوة 5.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

خطوة 5.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

خطوة 5.11.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 5.11.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

خطوة 5.12

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.6

اجمع.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.7

اضرب $\sin (2 x)$ في $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$