حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y)$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

خطوة 1.2.2

اجمع $6$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{1}{x + 6} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{x + 6}$

خطوة 1.2.4

اجمع $6$ و $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x + 6}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6}{x + 6} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x + 6} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x + 6} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x + 6} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x + 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x + 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x + 6 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 6 \ln (| x + 6 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $- 6 \ln (| x + 6 |)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 6 |}^{6}) = C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 6 |}^{6}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 6)}^{6}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${(x + 6)}^{6}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 6)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

بسّط $e^{C} {(x + 6)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 6 + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1.1

اضرب $6$ في $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 36 + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.3

اضرب $36$ في $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.4

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 216 + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.5

اضرب $216$ في $20$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.6

ارفع $6$ إلى القوة $4$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1296 + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.7

اضرب $1296$ في $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.8

اضرب $6$ في $6^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1.8.1

انقُل $6^{5}$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6 x + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.8.2

اضرب $6^{5}$ في $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1.8.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6^{1} x + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5 + 1} x + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.8.3

أضف $5$ و $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{6} x + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.9

ارفع $6$ إلى القوة $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 6^{6})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.10

ارفع $6$ إلى القوة $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 46656)$

خطوة 3.5.4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} x^{6} + e^{C} (36 x^{5}) + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

خطوة 3.5.4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

خطوة 3.5.4.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

خطوة 3.5.4.1.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

خطوة 3.5.4.1.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

خطوة 3.5.4.1.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + e^{C} \cdot 46656$

خطوة 3.5.4.1.3.6

انقُل $46656$ إلى يسار $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 \cdot e^{C}$

خطوة 3.5.4.1.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 e^{C}$ .

$| y | = x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C})$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm (x^{6} C + 36 x^{5} C + 540 x^{4} C + 4320 x^{3} C + 19440 x^{2} C + 46656 x C + C)$