حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d t} = 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d f = (16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d f = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f + C_{1} = \int 16 t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 16 \int t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

خطوة 2.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = 1 - t^{2}$ . إذن $d u = - 2 t d t$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = 1 - t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

خطوة 2.3.5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

خطوة 2.3.5.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

خطوة 2.3.5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.3.5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

خطوة 2.3.5.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 t$

خطوة 2.3.5.1.4

اطرح $2 t$ من $0$ .

$- 2 t$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.3.6.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.6.4

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 2.3.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.10.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.10.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.10.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.10.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.10.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.10.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

خطوة 2.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.1

بسّط.

$f + C_{1} = 8 t^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{5}{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.3

اضرب $- 2$ في $5$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.4

اجمع $\frac{- 10}{2}$ و $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.2.6.4

اقسِم $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$f = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$