حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

خطوة 1

اطرح $\ln (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 6 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{6 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{6 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{6 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{6}$ و $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7.3.4

اضرب $\frac{e^{6 x}}{6}$ في $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = 6 x$ . إذن $d u = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = 6 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

خطوة 7.6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{6}{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

خطوة 7.6.3

انقُل $6$ إلى يسار $e^{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

خطوة 7.6.4

اضرب $\frac{6 e^{u}}{u}$ في $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

خطوة 7.6.5

انقُل $6$ إلى يسار $u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

خطوة 7.6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

خطوة 7.6.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

خطوة 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ هو تكامل خاص. التكامل هو دالة التكامل الأُسي.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

خطوة 7.8

أعِد كتابة $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ بالصيغة $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

خطوة 8.1.1.2

اجمع $\frac{\ln (x)}{6}$ و $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

خطوة 8.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

خطوة 8.1.3

اضرب $- - \frac{E i u}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

خطوة 8.1.3.2

اضرب $\frac{E i u}{6}$ في $1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

خطوة 8.1.4

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ على $e^{6 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ على $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{6 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{6 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ إلى بسط الكسر.

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.2.2

أخرِج العامل $e^{6 x}$ من $- e^{6 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.3

أعِد كتابة $\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ بالصيغة $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.4

بسّط $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ بنقل $- \frac{- 1}{6}$ داخل اللوغاريتم.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.6

اضرب $- - \frac{1}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.6.2

اضرب $\frac{1}{6}$ في $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.8

اجمع.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

خطوة 8.2.3.1.9

اضرب $E$ في $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$