حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (2 x y + x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.4

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.7

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 0$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 x = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 x$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- (2 x y + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- (2 x y + x)$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

خطوة 5.3.2.2

أضف $0$ و $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

خطوة 5.3.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- (2 x y + x)$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

خطوة 6.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

خطوة 6.4

لنفترض أن $u = 2 y + 1$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

افترض أن $u = 2 y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

خطوة 6.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 6.4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 6.4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 6.4.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 6.4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 6.4.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

خطوة 6.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

خطوة 6.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 6.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 6.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 6.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 6.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 6.7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 6.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 6.9

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

خطوة 6.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

خطوة 6.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.11.1

بسّط $- \ln (| 2 y + 1 |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

خطوة 6.11.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

خطوة 6.11.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{2 y + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- (2 x y + x)$ في $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $- 2 x y - x$ في $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.5.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 y - 1$ و $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.6.4

أعِد كتابة $- (2 y + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.6.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

خطوة 7.6.6

اقسِم $x \cdot (- 1)$ على $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

خطوة 7.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

خطوة 7.8

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

خطوة 7.9

اضرب $y$ في $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

خطوة 7.10

اجمع $y$ و $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int x d x$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 12.3

بما أن $- \frac{1}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 12.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{y}{2 y + 1}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

خطوة 13.3

اقسِم $y$ على $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

خطوة 13.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

خطوة 13.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

خطوة 13.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

خطوة 13.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

خطوة 13.3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

خطوة 13.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

خطوة 13.5

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

خطوة 13.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

خطوة 13.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

خطوة 13.8

احذِف الأقواس.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

خطوة 13.9

لنفترض أن $u = 2 y + 1$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

افترض أن $u = 2 y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1.1

أوجِد مشتقة $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

خطوة 13.9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 13.9.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 13.9.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 13.9.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 13.9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 13.9.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 13.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 13.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 13.10.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

خطوة 13.10.3

اضرب $2$ في $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 13.11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 13.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.12.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 13.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 13.13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 13.14

بسّط.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

خطوة 13.15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

خطوة 15.1.3

اضرب $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.1

أعِد ترتيب $\ln (| 2 y + 1 |)$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

خطوة 15.1.3.2

بسّط $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ بنقل $\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

خطوة 15.2

لكتابة $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 15.3

اجمع $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 15.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

اضرب $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

خطوة 15.5.1.2

بسّط $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

خطوة 15.5.2

اضرب الأُسس في ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 15.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 15.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 15.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$