حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4 y - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

خطوة 2.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $x + 4 y - 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

خطوة 2.3.8.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 4 y - 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x + 4 y - 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x = 2 x + 4 y - 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 4 y - 2$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x (x + 4 y - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- x - 4 y + 2$ و $x + 4 y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 y$ .

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (4 y)$ .

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.4

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.6

أعِد كتابة $- (x + 4 y - 2)$ بالصيغة $- 1 (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.7

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

خطوة 4.3.3.8

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x}$

خطوة 4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| x |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x y + 1$ في $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x y + 1$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x (x + 4 y - 2)$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x + 4 y - 2$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

خطوة 8.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

خطوة 8.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

خطوة 8.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

خطوة 8.7

بسّط.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.4.2

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1.1

أضف $y$ و $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.6.1.2

أضف $y$ و $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 11.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

خطوة 12.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

قسّم الكسر $\frac{x y + 1}{x}$ إلى كسرين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

خطوة 12.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

خطوة 12.1.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y + \frac{1}{x} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

خطوة 12.1.3.2

أضف $\frac{1}{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 13.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$