حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \ln (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x \ln (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x \ln (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int x \ln (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x$ .

$x^{2} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$x^{2} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.2.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

خطوة 7.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

خطوة 7.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

خطوة 7.4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 7.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 7.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

خطوة 7.4.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

خطوة 7.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 7.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (x)$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.6.2.2

اجمع $\frac{\ln (x)}{2}$ و $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.6.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

خطوة 7.6.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

خطوة 7.6.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

خطوة 7.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

خطوة 8.1.2

احذِف الأقواس.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.1.2

اقسِم $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x)) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.2

بسّط $\frac{1}{2} (\ln (x))$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$