حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1 - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2}$

خطوة 1.4

اطرح $x^{2}$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} (y - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} (y - x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [y - x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- 1 \cdot 1) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \cdot - 1 + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) (2 x)$

خطوة 2.3.8

انقُل $2$ إلى يسار $y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 \cdot (y - x) x$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (2 y + 2 (- x)) x$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x + 2 (- x) x$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x \cdot x$

خطوة 2.4.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x)$

خطوة 2.4.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x^{1})$

خطوة 2.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{1 + 1}$

خطوة 2.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{2}$

خطوة 2.4.3.6

اطرح $2 x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 y x$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- x^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 3 x^{2} + 2 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 3 x^{2} + 2 x y$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} (y - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2}) - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - 2 (x y)}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $- x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x (x - y)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x^{2} (y - x)}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (x - y)}{x (y - x)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $x - y$ و $y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - y)}{x (y - x)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - (y))}{x (y - x)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (y - x)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 4.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $1 - x^{2} y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(1 - x^{2} y) \frac{1}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $1 - x^{2} y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} (y - x)$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + (y - x) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y - x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

خطوة 8.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

خطوة 8.4

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.2.2

بما أن $\frac{1}{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اطرح $y$ من $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

خطوة 12.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

قسّم الكسر $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ إلى كسرين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

خطوة 12.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

خطوة 12.1.2.2.1.2

اقسِم $- 1 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

خطوة 12.1.2.2.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

خطوة 12.1.3.2

أضف $\frac{1}{x^{2}}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{x^{2}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 13.3

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 13.4

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 13.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

خطوة 13.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

خطوة 13.6

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$