حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x$ .

$\frac{0 - x}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x + x y$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

خطوة 4.3.2

اطرح $x$ من $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2 + y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x + x y$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

خطوة 5.2

لنفترض أن $u = 2 + y$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

افترض أن $u = 2 + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

خطوة 5.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 5.2.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 5.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 5.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- \ln (| 2 + y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{2 + y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x + x y$ في $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $2 x + x y$ في $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

خطوة 6.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x d x + y d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $y$ في $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

خطوة 6.6

اجمع $y$ و $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

خطوة 11.3

بما أن $\frac{1}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{y}{2 + y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

خطوة 12.3

أعِد ترتيب $2$ و $y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

خطوة 12.4

اقسِم $y$ على $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

خطوة 12.4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

خطوة 12.4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

خطوة 12.4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 2$

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

خطوة 12.4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

خطوة 12.4.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

خطوة 12.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

خطوة 12.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

خطوة 12.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

خطوة 12.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

خطوة 12.9

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

خطوة 12.10

لنفترض أن $u = y + 2$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.10.1

افترض أن $u = y + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.10.1.1

أوجِد مشتقة $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

خطوة 12.10.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 12.10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 12.10.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 12.10.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 12.10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12.11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12.12

بسّط.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 12.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

خطوة 14

بسّط $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

خطوة 14.1.2

بسّط $- 2 \ln (| y + 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

خطوة 14.1.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y + 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

خطوة 14.2

لكتابة $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 14.3

اجمع $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اضرب $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

خطوة 14.5.1.2

بسّط $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

خطوة 14.5.2

اضرب الأُسس في ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

خطوة 14.5.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$