حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{1 + x}{x}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 3.3

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$