حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x y + 3 y^{2} - x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.4.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $4 x + 6 y$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

خطوة 3.3.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اضرب $x + 2 y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

خطوة 3.3.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $4 x + 6 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $4 x + 6 y$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 2 y$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x (x + 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x (x + 2 y)$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.4

اطرح $2 x$ من $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.5

اطرح $2 y$ من $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.6

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.6.2

أخرِج العامل $2$ من $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.6.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

خطوة 6.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

خطوة 6.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $4 x y + 3 y^{2} - x$ في $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.3.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $x (x + 2 y)$ في $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

خطوة 7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

خطوة 7.7

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

خطوة 7.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

خطوة 7.7.2

أضف $3$ و $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

خطوة 7.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

خطوة 9.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

خطوة 9.3

بما أن $2 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 x^{3}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

خطوة 9.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 9.5

بسّط.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

خطوة 9.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

خطوة 9.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

خطوة 9.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

خطوة 9.6.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{4} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.3.3

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{3} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.4.3

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 12.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $4 x^{3} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

خطوة 13.1.2

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 13.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.1

اطرح $4 x^{3} y$ من $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 13.1.3.2

أضف $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 13.1.3.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 y^{2} x^{2}$ و $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 13.1.3.4

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

خطوة 13.1.3.5

أضف $- x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x^{3}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

خطوة 14.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 14.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 16

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$