حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $f (4) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.1.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $4$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 2^{1} + K = 1$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 2 + K = 1$

خطوة 4.2.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 + K = 1$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$K = 1 - 4$

خطوة 4.3.2

اطرح $4$ من $1$ .

$K = - 3$

خطوة 5

عوّض بـ $- 3$ عن $K$ في $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 3$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - 3$