حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (x + 9) + \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y x + y \cdot 9 + \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1.1.1.2

انقُل $9$ إلى يسار $y$ .

$y x + 9 y + \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $y x$ من كلا المتعادلين.

$9 y + \frac{d y}{d x} = - y x$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $9 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = - y x - 9 y$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y x - 9 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) - 9 y$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 9 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) + y \cdot - 9$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 1 x) + y \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x - 9)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- x - 9)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 9$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (- x - 9) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x - 9 d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x - 9 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x + \int - 9 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x + \int - 9 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$