حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

خطوة 3.2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

خطوة 3.2.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

خطوة 3.3

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

خطوة 3.3.3

انقُل $- 4 y$ .

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

خطوة 3.3.4

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

خطوة 3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 4$ و $c = - 6 x^{2} - 2 K$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.1.2

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.1.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 6 x^{2} - 2 K$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 K$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.5

أعِد كتابة $- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.5.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

خطوة 3.6.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$