حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(x^{2} + x)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + x}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x}$

خطوة 1.2.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

خطوة 1.2.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (x + 1)}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (x + 1)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.2

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.5.1.2

اقسِم $A (x + 1)$ على $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.5.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.1.5.4.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

خطوة 2.3.1.1.6

انقُل $A$ .

$1 = A x + B x + A$

خطوة 2.3.1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.3.1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 2.3.1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

خطوة 2.3.1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

خطوة 2.3.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

خطوة 2.3.1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

خطوة 2.3.1.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

خطوة 2.3.1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 1 A = 1$

خطوة 2.3.1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 1, A = 1$

خطوة 2.3.1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

خطوة 2.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) - \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.3.8

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

خطوة 2.3.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{| x |}{| x + 1 |}}) = C$

خطوة 3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (| y | (\frac{| x + 1 |}{| x |})) = C$

خطوة 3.4

اضرب $| y | \frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $| y |$ و $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y | | x + 1 |}{| x |}) = C$

خطوة 3.4.2

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |})} = e^{C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y (x + 1) |}{| x |}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$

خطوة 3.7.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

بسّط $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 3.7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y (x + 1) | = e^{C} | x |$

خطوة 3.7.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y x + y \cdot 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 3.7.3.1.3

اضرب $y$ في $1$ .

$| y x + y | = e^{C} | x |$

خطوة 3.7.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | x |$ .

$| y x + y | = | x | e^{C}$

خطوة 3.7.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm | x | e^{C}$

خطوة 3.7.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | x | e^{C}$ .

$y x + y = \pm e^{C} | x |$

خطوة 3.7.4.4

أخرِج العامل $y$ من $y x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.4.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

خطوة 3.7.4.4.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

خطوة 3.7.4.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{C} | x |$

خطوة 3.7.4.4.4

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$

خطوة 3.7.4.5

اقسِم كل حد في $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ على $x + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.1

اقسِم كل حد في $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ على $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

خطوة 3.7.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

خطوة 3.7.4.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm C | x |}{x + 1}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C | x |}{x + 1}$