حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = x^{2}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x^{2} e^{- x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x^{2} e^{- x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

خطوة 6.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

خطوة 6.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

خطوة 6.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

خطوة 6.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

خطوة 6.7.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

خطوة 6.8

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 6.8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 6.8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 6.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 6.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 6.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

خطوة 6.11

أعِد كتابة $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ بالصيغة $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

خطوة 6.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.1.2

اقسِم $- x^{2}$ على $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $x (- e^{- x}) - e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $x (- e^{- x})$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2.1.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- e^{- x}$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2.1.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1) - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (- 1 x - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.3.2

اقسِم $2 (- x - 1)$ على $1$ .

$y = - x^{2} + 2 (- x - 1) + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = - x^{2} - 2 x - 2 + \frac{C}{e^{- x}}$