حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

خطوة 1.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{y}$ و $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة الثابت.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ على $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| y |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $10 + 4 \sin (t)$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.1.2.4

اقسِم $x (5 + 2 \sin (t))$ على $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ بالصيغة $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$