حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

خطوة 1.2

بما أن $\sin (3 x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\sin (3 x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

خطوة 2.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y \cos^{3} (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.5.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 2.6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6.3

اضرب $3$ في $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

خطوة 2.6.5

اضرب $- 18$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.2.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

خطوة 4.3.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

خطوة 4.3.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $- 9$ في $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.3.2

أضف $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ و $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $\cos^{2} (3 x)$ و $\cos^{3} (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (3 x)$ من $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (3 x)$ من $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

خطوة 4.3.6

افصِل الكسور.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

خطوة 4.3.7

حوّل من $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ إلى $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

خطوة 4.3.8

اقسِم $9$ على $1$ .

$9 \tan (3 x)$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

خطوة 5.2

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

خطوة 5.3

اجمع $\tan (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

خطوة 5.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

خطوة 5.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

خطوة 5.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

خطوة 5.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

خطوة 5.5.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

خطوة 5.6

تكامل $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

خطوة 5.7

بسّط.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

خطوة 5.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

خطوة 5.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

بسّط $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

خطوة 5.9.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ في عامل التكامل $\sec^{3} (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\sin (3 x)$ في $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\sec (3 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.5

اجمع $\sin (3 x)$ و $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $\cos (3 x)$ من $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.7

افصِل الكسور.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.8

حوّل من $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ إلى $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.9

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.10

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.11

حوّل من $\frac{1}{\cos (3 x)}$ إلى $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.12

اضرب $2 y \cos^{3} (3 x)$ في $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

خطوة 6.13

أعِد كتابة $\sec (3 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

خطوة 6.14

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

خطوة 6.15

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{3} (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.15.1

أخرِج العامل $\cos^{3} (3 x)$ من $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

خطوة 6.15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

خطوة 6.15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

خطوة 6.16

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

خطوة 6.17

اضرب $2$ في $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 2 y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 11.3

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

خطوة 12.3

لنفترض أن $u_{2} = \sec (3 x)$ . إذن $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

افترض أن $u_{2} = \sec (3 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

خطوة 12.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 12.3.1.2.2

مشتق $\sec (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 12.3.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 12.3.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12.3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

خطوة 12.3.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.3.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

خطوة 12.3.1.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 12.4

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

خطوة 12.5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 12.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 12.7

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 12.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 12.8.2

اضرب $3$ في $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 12.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

خطوة 14

اجمع $\frac{1}{6}$ و $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$