حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = t \sqrt{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (t \sqrt{y})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\sqrt{y}$ من $t \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} t)$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} t)$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = t$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = t d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int t d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int t d t$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int t d t$

خطوة 2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int t d t$

خطوة 2.2.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int t d t$

خطوة 2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int t d t$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int t d t$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{2} + K$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} t^{2} + K$ على $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $y^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{t^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3

اجمع.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4

اضرب $t^{2}$ في $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2

بسّط.

$y = {(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ بالصيغة $(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2

وسّع $(\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{t^{2}}{4} (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.1

اجمع.

$y = \frac{t^{2} t^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{t^{2 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$y = \frac{t^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4

اجمع.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.6

اجمع.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8

اضرب $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.8.1

اضرب $\frac{K}{2}$ في $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8.2

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8.3

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.8.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{t^{2} K}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أضف $\frac{t^{2} K}{8}$ و $\frac{K t^{2}}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $t^{2}$ و $K$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2.2

أضف $\frac{K t^{2}}{8}$ و $\frac{K t^{2}}{8}$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + 2 \frac{K t^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y = \frac{t^{4}}{16} + 2 \frac{K t^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{t^{4}}{16} + 2 \frac{K t^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{K t^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{t^{4}}{16} + \frac{K t^{2}}{4} + K$