حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x + x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4

اضرب $x$ في $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $4 + y^{2}$ من $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 2 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 2 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.2

اضرب $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.2.1

أعِد ترتيب $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ و $2$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.2.2

بسّط $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.3

اضرب الأُسس في ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.4

بسّط.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.5

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

خطوة 3.2

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

خطوة 3.3

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

خطوة 3.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$