حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(1 + x^{2}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

خطوة 1.6

أضف $0$ و $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $1$ و $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.9

احذِف الأقواس.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

خطوة 1.10

انقُل $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $1 + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.3.1.3

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 6.3.2

لكتابة $\frac{C}{1 + x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 (1 + x^{2})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $\frac{C}{1 + x^{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

خطوة 6.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(1 + x^{2}) \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

خطوة 6.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

خطوة 6.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$