حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

خطوة 1.2.2

اجمع.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ من $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

خطوة 1.2.3.2

أخرِج العامل $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ من $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

خطوة 1.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

خطوة 1.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $9 y^{2}$ بالصيغة ${(3 y)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = 3 y$ . إذن $d u = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = 3 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ في $3$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ في $3$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\arcsin (3 y)$ .

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

خطوة 3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

خطوة 3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{2}$ .

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

خطوة 3.1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

خطوة 3.1.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

خطوة 3.1.3.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

خطوة 3.2

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الجيب.

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$