حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{2 y}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ و $e^{2 y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4 + e^{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $4 + e^{2 y}$ من $x (4 + e^{2 y})$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . إذن $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

خطوة 4.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + e^{2 y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

خطوة 4.2.1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

خطوة 4.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 4.2.1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 4.2.1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 4.2.1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 4.2.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

خطوة 4.2.1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

خطوة 4.2.1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

خطوة 4.2.1.1.4

أضف $0$ و $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$