حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d F}{d x} = 3 e^{x} + 2 x$ , $F (0) = 18$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d F = (3 e^{x} + 2 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d F = \int 3 e^{x} + 2 x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$F + C_{1} = \int 3 e^{x} + 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$F + C_{1} = \int 3 e^{x} d x + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$F + C_{1} = 3 \int e^{x} d x + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + 2 \int x d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + 1 x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$F + C_{1} = 3 e^{x} + x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$F + C_{1} = x^{2} + 3 e^{x} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$F = x^{2} + 3 e^{x} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $18$ عن $F$ في $F = x^{2} + 3 e^{x} + K$ .

$18 = 0^{2} + 3 e^{0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0^{2} + 3 e^{0} + K = 18$ .

$0^{2} + 3 e^{0} + K = 18$

خطوة 4.2

بسّط $0^{2} + 3 e^{0} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 3 e^{0} + K = 18$

خطوة 4.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + K = 18$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3 + K = 18$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$3 + K = 18$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$K = 18 - 3$

خطوة 4.3.2

اطرح $3$ من $18$ .

$K = 15$

خطوة 5

عوّض بـ $15$ عن $K$ في $F = x^{2} + 3 e^{x} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $15$ .

$F = x^{2} + 3 e^{x} + 15$